Thema anzeigen - Gedanken zu Proposition 5.2.13 :: Astronomy and Space Flight, Astronomie und Raumfahrt und dies und das... ::

Achtung: Dies ist eine historische Web-Site. Aktuell ist https://rainer.gerhards.net/ (engl) bzw https://www.rainer-gerhards.de/ (deutsch). Alle dynamischen Funktionen, Formulare etc auf dieser Seite sind abgeschaltet.
Datenschutzerklärung Impressum

01.08.2017, 22:52 Uhr

Hauptmenü

Sprachwahl

Sprache auswählen:

↑ Grab this Headline Animator

Online

Aktuell 1 Gast und 0 registrierte Benutzer online.

Anmeldung

Anmeldung

News...

Hexadezimal Rechnen (z.B. für Adressberechnung)

Kurzüberblick von-Neumann Architektur

(Kurzversion) Was ist Fragmentierung?

Was ist Fragmentierung und wie kann man sie vermeiden?

Was ist Kapselung und weshalb braucht man sie?

Was ist und was macht ein Betriebssstem?

Epsilon-Umgebung

Cache und Hauptspeicher

Internet: Obama lässt die Drähte glühen...

Reality-Check: Computerpanne bei der Bahn

Gedanken zu Proposition 5.2.13

Astronomy and Space Flight, Astronomie und Raumfahrt und dies und das... Foren-Übersicht » Informatik » Mathematik

Autor

Nachricht

rgerhards

Titel: Gedanken zu Proposition 5.2.13

Verfasst am: 20.10.2008, 10:15 Uhr

Anmeldung: 25. Sep 2006
Beiträge: 688

[Work in Progress]

Die Proposition 5.2.13 lautet:

Sei $T \in M_{mm}(\mathbb{K})$ eine Matrix in Treppennormalform mit Pivot-Positionen $(1, j_i), \cdots, (r, j_r)$ . Sei $\mathcal{T} = \{j_1, \cdots, j_r\}$ . Die Lösungsmenge $\mathcal{U} \text{ von } Tx = 0$ ist

$\begin{aligned} \mathcal{U} = \{ \left( \begin{array}{c} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{array} \right) | u_k \text{ beliebig für alle } k \in \mathcal{T}, \text{ und } - \sum_{k \notin \mathcal{T}} t_{sk}u_k \text{ für alle } j_s \in \mathcal{T} \} \end{aligned}$

Anmerkung:

ist der Rang der Matrix

. Das ergibt sich aus obiger Definition, sei hier aber nochmals explizit erwähnt.

Aus der Antwort von Fr. Hartlieb:

Silke Hartlieb hat folgendes geschrieben::

$\begin{aligned} u_2 &=-\sum_{k \notin \{2,3,5\}} t_{sk} u_k \\ &= -\sum_{k \in \{1,4,6\}}t_{sk}u_k \\ &= -(t_{11}u_1+t_{14}u_4+t_{16}u_6) \\ \end{aligned}$

man könnte aber auch die Reihenfolge der Summation ändern,
ohne an der Summe etwas zu ändern:

$-(t_{14}u_4+t_{16}u_6+t_{11}u_1)$

Ich habe auch noch ein Problem mit dem ersten Teil des Beweises. Der lautet:

Zunächst zeigen wir, dass jedes Element der rechten Menge eine Lösung von Tx = 0

ist.

$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n &= \sum_{k \in \mathcal{T}} t_{sk}u_k + \sum_{k \notin \mathcal{T}} t_{sk}u_k \\ &= t_{sj_s}u_j_s + \sum_{k \notin \mathcal{T}} t_{sk}u_k \\ &= - \sum_{k \notin \mathcal{T}} t_{sk}u_k + \sum_{k \notin \mathcal{T}} t_{sk}u_k\\ &= 0 \end{aligned}$

Daraus folgt doch dann offensichtlich:

$\begin{aligned} \sum_{k \in \mathcal{T}} t_{sk}u_k = t_{sj_s}u_j_s = - \sum_{k \notin \mathcal{T}} t_{sk}u_k \end{aligned}$

... OK, das macht nun Sinn. Denn $Tx = 0 \Rightarrow T_{ij} = 0 \text{ für alle } i, j$ und somit muss der erste Summand ja das additive Inverse des zweiten sein.

Wobei... nutze ich hier nicht schon das, was ich beweisen möchte? Nämlich, das Tx = 0

gilt?

Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde

Astronomy and Space Flight, Astronomie und Raumfahrt und dies und das... Foren-Übersicht » Informatik » Mathematik

:: RSS Feed:

Page created in 0.117936134338 seconds.

Ferientips - das Urlaubsweb - Jan Gerhards - Ulrike Gerhards - Ulrike Gerhards Foto Site