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Mathematik - Gedanken zu Proposition 5.2.13

rgerhards - 20.10.2008, 10:15 Uhr
Titel: Gedanken zu Proposition 5.2.13

[Work in Progress]

Die Proposition 5.2.13 lautet:

Sei $T \in M_{mm}(\mathbb{K})$ eine Matrix in Treppennormalform mit Pivot-Positionen $(1, j_i), \cdots, (r, j_r)$ . Sei $\mathcal{T} = \{j_1, \cdots, j_r\}$ . Die Lösungsmenge $\mathcal{U} \text{ von } Tx = 0$ ist

$\begin{aligned} \mathcal{U} = \{ \left( \begin{array}{c} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{array} \right) | u_k \text{ beliebig für alle } k \in \mathcal{T}, \text{ und } - \sum_{k \notin \mathcal{T}} t_{sk}u_k \text{ für alle } j_s \in \mathcal{T} \} \end{aligned}$

Anmerkung:

ist der Rang der Matrix

. Das ergibt sich aus obiger Definition, sei hier aber nochmals explizit erwähnt.

Aus der Antwort von Fr. Hartlieb:

Silke Hartlieb hat folgendes geschrieben::

$\begin{aligned} u_2 &=-\sum_{k \notin \{2,3,5\}} t_{sk} u_k \\ &= -\sum_{k \in \{1,4,6\}}t_{sk}u_k \\ &= -(t_{11}u_1+t_{14}u_4+t_{16}u_6) \\ \end{aligned}$

man könnte aber auch die Reihenfolge der Summation ändern,
ohne an der Summe etwas zu ändern:

$-(t_{14}u_4+t_{16}u_6+t_{11}u_1)$

Ich habe auch noch ein Problem mit dem ersten Teil des Beweises. Der lautet:

Zunächst zeigen wir, dass jedes Element der rechten Menge eine Lösung von Tx = 0

ist.

$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n &= \sum_{k \in \mathcal{T}} t_{sk}u_k + \sum_{k \notin \mathcal{T}} t_{sk}u_k \\ &= t_{sj_s}u_j_s + \sum_{k \notin \mathcal{T}} t_{sk}u_k \\ &= - \sum_{k \notin \mathcal{T}} t_{sk}u_k + \sum_{k \notin \mathcal{T}} t_{sk}u_k\\ &= 0 \end{aligned}$

Daraus folgt doch dann offensichtlich:

$\begin{aligned} \sum_{k \in \mathcal{T}} t_{sk}u_k = t_{sj_s}u_j_s = - \sum_{k \notin \mathcal{T}} t_{sk}u_k \end{aligned}$

... OK, das macht nun Sinn. Denn $Tx = 0 \Rightarrow T_{ij} = 0 \text{ für alle } i, j$ und somit muss der erste Summand ja das additive Inverse des zweiten sein.

Wobei... nutze ich hier nicht schon das, was ich beweisen möchte? Nämlich, das Tx = 0

gilt?