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rgerhards
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Titel: Darstellung einer Matrix als Vektor
 Verfasst am: 13.11.2008, 09:23 Uhr
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Anmeldung: 25. Sep 2006
Beiträge: 688
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Bei der Beschäftigung mit Vektorräumen hatte ich erhebliche Schwierigkeiten, sobald ein Vektorraum in Verbindung mit Matrizen definiert wurde. Die Schwierigkeit lag darin, dass ein Vektor ja ein Tupel ist, eine Matrix hingegen ein Tupel von Tupeln (ein Vektor somit in gewissem Sinne "eindimensional", eine Matrix "zweidimensional" ist, "Dimension" hier nicht als Anzahl der Standardbasen des Vektorraums benutzt).
Tatsächlich kann man eine Matrix  aber als spezielle Schreibweise eines Vektors  betrachten. Jede Matrix kann dann in einen Vektor überführt werden und jeder Vektor mit  Komponenten in eine Matrix. Insbesondere gibt es somit verschiedene Schreibweisen des selben mathematischen Objekts, eben  sowie potentiell noch einige andere Matrizen, nämlich denen, deren Produkt der Zeilen- und Spaltenanzahl gleich ist. Generell lässt sich damit sagen
Im folgenden möchte ich mich aber (zumiundest zunächst) auf die Fälle konzentrieren, in denen gilt  und hierfür die Transformationsfunktion angeben. Bei der Transformation handelt es sich um eine lineare Abbildung. Sei  ein  -dimensionaler Vektorraum über einem Körper  das Element in der  -ten Zeile von  das Element von  in der -ten Zeile und  -ten Spalte. Dann ist
die lineare Abbildung der Matrix auf den Vektorraum mit gleicher Dimension.
Beweis
Sei  die Elementarmatrix mit einer 1 an der Position  und ansonsten nur Nullen. Sei  , dann kann mit ihrer Hilfe ein Basisvektor die Basis einer Dimension aus der Matrix "extrahiert" werden, und zwar in der folgenden Weise:
Dabei ist  die "Koordinatenmatrix" (mir ist kein besserer Name eingefallen), die genau eine Koordinate der ursprünglichen Matrix beeinhaltet und ansonsten nur Nullen. Dies Umformung wird für alle i, j durchgeführt. Im Ergebnis erhalte ich eine Menge  der Mächtigkeit  .
Die Menge hat damit schon die "korrekte" Mächtigkeit, um das -Tupel des Vektors zu bilden. Wenn ich eine Ordnungsrelation über dieser Menge definiere, so dass die Elemetne aufsteigend nach  geordnet sind, so habe ich auch schon das Tupel und in zwar in der richtigen Reihenfolge. Die Komponenten haben aber noch die falsche Struktur. Die einzelnen Komponenten, die Koordinaten, liegen nämlich noch in Matrixform vor. Durch Zeilen- und Spaltenumformungen kann ich das nun beheben, und die Komponente mit der eigentlichen Koordinate aus jeder Matrix extrahieren. Ich transformiere somit jede Matrix  in eine Matrix  . Die Ränge beider Matrizen sind identisch, damit ist die entsprechenden lineare Abbildung injektiv und damit ist sie bijektiv.
Dies erfolgt in zwei Schritten. Zunächst wird der "korrekte" Zeilenvektor extrahiert. Sei dazu  der Einheitsvektor, der in der -ten Komponente eine 1 hat und in allen anderen eine 0. Die Abbildung wird nun folgendermassen vorgenommen:
Nun sind wir ein Stück weiter, die Stuktur passt aber immer noch nicht ganz. Nun müssen wir noch das Element aus der -ten Spalte extrahieren. Dies geschieht über folgende lineare Abbildung:
Wichtiger Hinweis: ich war versucht, diese Operation als  zu schreiben. Dies ist aber nicht möglich, da die Ausgangsmatrix nicht quadratisch sein muss und somit  möglich ist. Dann aber verfügen die Einheitsvektoren über unterschiedliche Komponentenanzahl und die Matrizenmltiplikation ist nicht mehr in allen Fällen definiert (stimmt das denn überhaupt...? - nochmal nachdenken).
In unserem Koordinaten-Tupel haben wir nun nur noch Komponenten, die einelementige Koordinatentupel sind. Formal sind diese Komponenten aber aber eben immer noch Tupel. Dies können wir einfach beheben, da ein Vektor, der nur eine Komponente enthält, äquivalent zu diesem Körperelement ist (wo ist der Beweis dazu?). Mit  folgt, dass das Koordinatentupel nun ein Vektor  ist. Das Tupel ist somit das gesuchte Bild der Matrix .
Damit ist gezeigt, dass die Matrix auf einen Vektor abgebildet werden kann.
Ich gehe davon aus, dass auch eine entsprechende Umkehrabbildung auch gebildet werden kann. Auch aus Zeitgründen unterlasse ich Untersuchung und Beweis an dieser Stelle aber (zunächst). |
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