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rgerhards
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Titel: Injektivität/Surjektivität
 Verfasst am: 15.10.2008, 16:59 Uhr
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Anmeldung: 25. Sep 2006
Beiträge: 688
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Frau Prof. Dir. Luise Unger hat in der Newsgroup der Fernuni einen lesenswerten Beitrag geschrieben. Aus mir unbekannten Gründen ist er nicht mehr über das Web-Interface abzurufen, daher habe ich ihn hier zur Referenz hinein kopiert (aus meiner Newsreader-Kopie):
Rainer Gerhards schrieb:
> "Luise Unger" <Luise.Unger@FernUni-Hagen.de> wrote in message
> news:gb0d37$5cq$1@tamarack.fernuni-hagen.de...
>
>> hier möchte ich mich mal kurz ins Gefecht werfen. Man kann sehr wohl
>> eine surjektife Abbildung von N nach Z definieren. Sogar eine bijektive.
>
>
> Na, das motiviert doch. Ich versuche es erst einmal mit einer halben
> Antwort, dafür reicht, glaube ich, meine Begründung noch.
>
> Ich vermutete:
>
>> (i) f heißt surjektiv, wenn f(M) = N, also wenn die Bildmenge gleich der
>> Zielmenge ist, denn dann und nur dann gilt
>
>
> Hierbei betrachte ich aber die Definitionsmenge überhaupt nicht. Daher
> kann ich aus Kentnis nur der Definitionsmenge und der Zielmenge in Bezug
> auf die Surjektivität nichts folgern. Für die Folgerung benötige ich
> Kenntnis über die Struktur der Bildmenge f(M).
>
> Insofern könnte man aber sagen, dass die Urbildmenge als solche
> irrelevant ist. Relevant ist nur die Bildmenge, die aber natürlich
> entscheidend über die Urbildmenge bestimmt wird. Vielleicht liegt hier
> ja auch schon mein Denkfehler im Hinblick auf die Bijektivität (sofern
> die Überlegung bis hier überhaupt richtig ist  ). Über Bijektivität
> muss ich nun erst noch einmal nachdenken.
>
>> Versuchen Sie es doch einfach mal. 
>
>
> Nun zumindest ein Beispiel für die Surjektivität:
>
> g: Z --> Z : x |--> x/2 wenn x gerade
> (x-1)/2 wenn x ungerade
> f: N --> Z : x |--> g(x) * (-1)^x
>
> Das Beispiel ist zugegebenermassen etwas mühevoll konstruiert, gerade
> mit der Hilfsfunktion g. Meine Schwierigkeit lag darin, aus der
> Teilmenge N die Obermenge Z zu konstruieren. Offensichtlich benötige ich
> zu allen n e N (n <> 0) ein -n und ein +n, um den entsprechenden Wert in
> Z sowohl positiver als auch negativer Richtung einzufügen. g() mit der
> Fallunterscheidung ist hier vielleicht mehr ein Trick? Ich war zuerst
> versucht, einfach "x/2" direkt in f() einzusetzen, so a la
> modulo-Arithmetik in den diversen Programmiersprachen. Aber wenn ich das
> Script richtig verstanden habe, ist "/" für Z gar nicht definiert (da
> als Ergebnis eben nicht immer genau ein Element aus Z zugeordnet werden
> kann).
>
> Wenn der Trick gestattet ist, so müsste die Abbildung f() meines
> Erachtens nach Z aus N konstruieren können. Sie Lässt man f() einmal
> iterativ "durchlaufen", erzeugt es die Werte in dieser Reihenfolge: 0,
> 1, -1, 2, -2, ...
prima!
>
> Nun stellen sich natürlich zwei Fragen: a) ist das korrekt
ja
und b) geht
> es einfacher?
ja. Sie brauchen die Krücke mit dem g nicht. Sie definieren einfach:
f: N -> Z, f(x)=x/2 falls x gerade ist und f(x)=-(x-1)/2 falls x
ungerade ist. Also die ungeraden natürlichen Zahlen gehen auf 0 und die
negativen ganzen Zahlen und die gerade auf die positiven ganzen Zahlen.
> Hat jemand anders hier noch einen Tipp dazu?
>
> Ach verflixt... natürlich ist f() auch injektiv, denn zu jedem Bild gibt
> es genau ein Urbild. Jetzt muss ich den Denkfehler suchen, oder bin ich
> hier in eine "Unendlichkeits-Falle" getappt...?
Sind Sie. Der Witz ist, dass es bei unendlichen Mengen durchaus drin
sein kann, dass diese eine Teilmenge haben, die ebenfalls unendlich ist.
Beispiel: Die natürlichen Zahlen enthalten die geraden natürlichen
Zahlen. Und von den geraden natürlichen Zahlen können Sie problemlos
eine bijektive Abbildung in die Menge der natürlichen Zahlen konstruieren.
>
> Man könnte ja auch sagen |N| = |Z| mit N \subset Z... umm.. war so nicht
> die Unendlichkeit von Mengen definiert (gleichmächtig, aber eine Menge
> eine echte Teilmenge der anderen)?
Ja. Was ich jetzt erzähle, dürfen Sie auch gleich wieder vergessen, aber
da Sie sowieso gleich googlen werden, kann ich es auch kurz erzählen.
Das mit der Mächtigkeit von Mengen ist so eine Sache. Nehmen wir mal an,
M und N sind Mengen. Wenn beide nur endlich viele Elemente enthalten,
kriegen Sie nur dann eine bikektive Abbildung von M nach N hin, wenn M
und N gleich viele Elemente haben, wenn also |M|=|N| gilt. Insbesondere
ist es nicht möglich, dass es eine bijektive Abbildung einer echten
Teilmenge von M nach M gibt, denn eine solche endliche Teilmenge hätte
ja weniger elemente.
Jetzt nehmen wir mal das Beispiel von oben, also N (natürliche Zahlen)
und Z (ganze Zahlen). Das zeigt, dass es durchaus möglich sein kann,
dass es eine bijektive Abbildung einer echten Teilmenge (hier N von Z)
in sich selbst gibt.
Und jetzt gehen wir noch eine Abstraktionsstufe höher: Nehmen wir an, M
und N sind jetzt beliebige Mengen. Dann definieren wir: M und N heißen
gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung von M nach N gibt.
Beispiel: Wenn M und N endlich sind, dann haben wir mit dieser
Definition nichts kaputt gemacht. Es gibt ja nur dann eine bijektive
Abbildung wenn sie gleich viele Elemente haben. Somit ist alles im
Grünen Bereich.
Beispiel: N und Z. Die Abbildung f von oben zeigt, dass |N|=|Z| ist.
Noch unvollstellbarer aber wahr: N und Q (rationale Zahlen) sind
gleichmächtig.
Jetzt aber nicht übermütig werden: Man kann zeigen, dass man keine
bijektive Abbildung von N nach R (reelle Zahlen) konstruieren kann.
Mit anderen Worten: Die Mächtigkeit von R ist "irgendwie unendlicher"
als die Mächtigkeit von N. Und das ist sogar richtig. Man kann eine
Hierarchie im Unendlichen definieren, und man kann mit diesen
unterschiedlichen Unendlichs sogar rechnen!
Das aber nur am Rande um zu zeigen, was für gruselige Dinge es gibt.
Wenn Sie mehr wissen wollen, googlen Sie nach Mächtigkeit.
Viele Grüße
Luise Unger
--
Prof. Dr. Luise Unger
Email:
FernUniversitaet Hagen Luise.Unger@FernUni-Hagen.de
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Fakultät für Mathematik und Informatik
Lehrgebiet Algebra
Lützowstr. 125
D-58084 Hagen |
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