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Spielereien mit Fakultät
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rgerhardsOffline
Post subject: Spielereien mit Fakultät  PostPosted: Mar 27, 2009 - 09:00 AM



Joined: Sep 25, 2006
Posts: 688

Status: Offline
Die Fakultät ist wie folgt definiert

$$n! = \prod_{i=1}^ni$$

Für n \ge k \ge 0 gilt somit:

$$n! = \prod_{i=1}^ki \prod_{i=k+1}^ni$$

Dabei gilt natürlich auch

$$\prod_{i=k+1}^ni = \prod_{i=0}^{n-k-1}(n-i)$$

Nun ist der rechte Teil der Gleichung aber gerade die "fallende Faktorielle"

$$\text{FF}(n,l): \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N} : n,l \mapsto \prod_{i=1}^{l}(n+1-i)$$

Wenn ich nun l = n-k setze, dann erhalte ich folgenden Ausdruck für die Fakultät und n \ge k \ge 0 :

n! = k! \cdot\text{FF}(n, n-k)

Daraus kann ich dann (gelegentlich) Nutzen für das Kürzen von Termen ziehen:

\frac{n!}{k!} = \text{FF}(n, n-k)

... ob mir das irgendwann irgend einen praktischen Nutzen bringt, weiss ich nicht, aber Spielereien sind ja erlaubt... Wink
 
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