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Mathematik - Spielereien mit Fakultät

rgerhards - 27.03.2009, 09:00 Uhr
Titel: Spielereien mit Fakultät

Die Fakultät ist wie folgt definiert

$n! = \prod_{i=1}^ni$

Für $n \ge k \ge 0$ gilt somit:

$n! = \prod_{i=1}^ki \prod_{i=k+1}^ni$

Dabei gilt natürlich auch

$\prod_{i=k+1}^ni = \prod_{i=0}^{n-k-1}(n-i)$

Nun ist der rechte Teil der Gleichung aber gerade die "fallende Faktorielle"

$\text{FF}(n,l): \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N} : n,l \mapsto \prod_{i=1}^{l}(n+1-i)$

Wenn ich nun l = n-k

setze, dann erhalte ich folgenden Ausdruck für die Fakultät und $n \ge k \ge 0$ :

$n! = k! \cdot\text{FF}(n, n-k)$

Daraus kann ich dann (gelegentlich) Nutzen für das Kürzen von Termen ziehen:

$\frac{n!}{k!} = \text{FF}(n, n-k)$

... ob mir das irgendwann irgend einen praktischen Nutzen bringt, weiss ich nicht, aber Spielereien sind ja erlaubt... Wink