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rgerhardsOffline
Post subject: Gedanken zu Proposition 5.2.13  PostPosted: Oct 20, 2008 - 10:15 AM



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Die Proposition 5.2.13 lautet:

Sei T \in M_{mm}(\mathbb{K}) eine Matrix in Treppennormalform mit Pivot-Positionen (1, j_i), \cdots, (r, j_r). Sei \mathcal{T} = \{j_1, \cdots, j_r\}. Die Lösungsmenge \mathcal{U} \text{ von } Tx = 0 ist


\begin{aligned}
\mathcal{U} = \{
\left(
\begin{array}{c}
u_1 \\
\vdots \\
u_n
\end{array}
\right)
| u_k \text{ beliebig für alle } k \in \mathcal{T}, \text{ und }
- \sum_{k \notin \mathcal{T}} t_{sk}u_k \text{ für alle } j_s \in \mathcal{T}
\}
\end{aligned}

Anmerkung: r ist der Rang der Matrix M. Das ergibt sich aus obiger Definition, sei hier aber nochmals explizit erwähnt.

Aus der Antwort von Fr. Hartlieb:

Silke Hartlieb wrote:



\begin{aligned}
u_2 &=-\sum_{k \notin \{2,3,5\}} t_{sk} u_k \\
    &= -\sum_{k \in \{1,4,6\}}t_{sk}u_k \\
    &= -(t_{11}u_1+t_{14}u_4+t_{16}u_6) \\
\end{aligned}

man könnte aber auch die Reihenfolge der Summation ändern,
ohne an der Summe etwas zu ändern:


  -(t_{14}u_4+t_{16}u_6+t_{11}u_1)


Ich habe auch noch ein Problem mit dem ersten Teil des Beweises. Der lautet:

Zunächst zeigen wir, dass jedes Element der rechten Menge eine Lösung von Tx = 0 ist.


\begin{aligned}
\sum_{k=1}^n &= \sum_{k \in \mathcal{T}} t_{sk}u_k + \sum_{k \notin \mathcal{T}} t_{sk}u_k \\
 &= t_{sj_s}u_j_s + \sum_{k \notin \mathcal{T}} t_{sk}u_k \\
 &= - \sum_{k \notin \mathcal{T}} t_{sk}u_k + \sum_{k \notin \mathcal{T}} t_{sk}u_k\\
 &= 0
\end{aligned}

Daraus folgt doch dann offensichtlich:


\begin{aligned}
\sum_{k \in \mathcal{T}} t_{sk}u_k  = t_{sj_s}u_j_s = - \sum_{k \notin \mathcal{T}} t_{sk}u_k 
\end{aligned}

... OK, das macht nun Sinn. Denn Tx = 0 \Rightarrow T_{ij} = 0 \text{ für alle } i, j und somit muss der erste Summand ja das additive Inverse des zweiten sein.

Wobei... nutze ich hier nicht schon das, was ich beweisen möchte? Nämlich, das Tx = 0 gilt?
 
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