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Mathematik - Findung der Basis

rgerhards - 12.11.2008, 14:59 Uhr
Titel: Findung der Basis

Achtung: Das war ein Denkansatz, und offensichtlich ein falscher. Bitte NICHT verwenden. Ich möchte das künftig aber noch anpassen, daher lösche ich es jetzt noch nicht!

Für lineare Abbildungen der Form F(x) = Ax

soll die Matrix A ermittelt werden, als Beispiel gelte die Aufgabe

$F(\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} x + y & z \\ z & x+y \end{pmatrix}$

Dies entspricht:

$\begin{pmatrix} x + y & z \\ z & x+y \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix}$

Nun stelle ich mir die Frage, wie ich die Umformungen generell durchführen kann. Ein naiver Ansatz, mit $Y = \begin{pmatrix} x + y & z \\ z & x+y \end{pmatrix}$ und $X = \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix}$ :

$\begin{aligned} &Y = AX \\ \Rightarrow & YX^{-1} = AXX^{-1} \\ \Rightarrow & YX^{-1} = A \\ \end{aligned}$

Dies setzt natürlich voraus, dass die Matrix

invertierbar ist. In unserem Beispiel ist sie das aber. Ich invertiere nun zunächst diese Matrix:

$\begin{aligned} &\begin{pmatrix} x & y |1 & 0\\ 0 & z |0 & 1 \end{pmatrix} \\ =& \begin{pmatrix} 1 & y | \frac{1}{x} & 0\\ 0 & z |0 & 1} \end{pmatrix} ,&\text{mit } x \neq 0, D_1(\frac{1}{x}) \\ =& \begin{pmatrix} 1 & y | \frac{1}{x} & 0\\ 0 & 1 |0 & \frac{1}{z}} \end{pmatrix} ,&\text{mit } z \neq 0, D_2(\frac{1}{y})\\ =& \begin{pmatrix} 1 & 0 |\frac{1}{x} & -y\\ 0 & 1 |0 & \frac{1}{z} \end{pmatrix} ,&\text{mit } T_{12}(-y) \end{aligned}\\$