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Mathematik - "Fallunterscheidungen" in Funktionen

rgerhards - 15.10.2008, 12:58 Uhr
Titel: "Fallunterscheidungen" in Funktionen

Ähnlich der Programmierung gibt es auch in der Mathematik "Fallunterscheidungen". Ich bin mir nicht sicher, ob diese Bezeichnung korrekt ist (Hinweise willkommen!), aber die Funktion ist jedenfalls die Gleiche.

Üblicherweise betrachten wir Funktionen (D und Z sind die Definitions- und Zielmenge):

$f : D \rightarrow Z : x \mapsto 2x$

Hier ist die Rechenvorschrift

für alle

die gleiche. Damit lassen sich aber nicht alle möglichen Funktionen abbilden. Als Beispiel sei der Betrag/Absolutwert genannt. Das Ergebnis von abs()

ist dabei für positive Werte exakt der "eingegebene" Wert, für negative x hingegen -x, also der gleiche Wert, jedoch mit positivem Vorzeichen.

Ohne eine Unterscheidung der Fälle lässt sich das nun nicht beschreiben. Konkret definiert wird die Funktion dann so:

$f : D \rightarrow Z : x \mapsto \begin{cases} x & \text{wenn } x \ge 0 \\ -x &\text{sonst} \end{cases}$

Dabei gibt es natürlich gewisse Freiräume, so hätte ich z. B. anstelle von "sonst" auch x < 0

schreiben können.

Es sind nicht nur 2 Fälle möglich, sondern prinzipiell unendlich viele. Diese werden dann einfach in verschiedene Zeilen geschrieben. Dazu ein Beispiel mit drei Fällen: die Funktion sgn()

hat den Wert 1, wenn ihr Argument positiv ist, 0, wenn es gleich 0 ist und -1, wenn es negativ ist. Dies kann man so ausdrücken:

$f : D \rightarrow Z : x \mapsto \begin{cases} 1 & \text{wenn } x > 0 \\ 0 & \text{wenn } x = 0 \\ -1 & \text{wenn } x < 0 \\ \end{cases}$

Um mit einer solchen Funktion "rechnen" zu können, muss man auch für jeden Fall getrennte Rechungen anstellen.

In LaTex wird eine solche Formel übrigens solchermassen erstellt:

Code:

f : D \rightarrow Z : x \mapsto 

\begin{cases}

1 & \text{wenn } x > 0 \\

0 & \text{wenn } x = 0 \\

-1 & \text{wenn } x < 0 \\

\end{cases}